Différentielles - dérivées partielles

 

Définition :

La dérivée partielle d'une fonction à plusieurs variables est la dérivée par rapport à l'une des variables, les autres variables étant constantes.

Exemple : soit la fonction : F = f (x, y)

- la dérivée partielle de F par rapport à x s'écrit :

(F / x)y

  y en indice signifie que lorsqu'on calcule la dérivée, y est constant.

- la dérivée partielle de F par rapport à y s'écrit :

(F / y)x 

x étant constant.

La différentielle dF de la fonction F est :

dF = (F / x)y.dx + (F / y)x.dy

 

Exemple 1.

Déterminons de la différentielle de la fonction :

F(x,y) = 3 x.y + 5 y

calcul des dérivées partielles :

(F / x)y = 3 y
(F / y)x = 3 x + 5

différentielle de F :

dF = 3 y.dx + (3 x + 5).dy

 

Exemple 2.

Déterminons la différentielle de la fonction :

P = F (V, T)

relative à 2 moles de gaz parfait.

Appliquée à 2 mol. la relation des gaz parfaits :

P.V = n.R.T

donne la fonction :

P = 2.R.T / V

calcul des dérivées partielles :

(P / T)V = 2.R / V
(P / V)T = - 2.R.T / V2

différentielle de P :

dP = (P / T)V.dT + (P / V)T.dV
dP = (2.R / V).dT - (2.R.T / V2).dV